反射原理：触及 0 且终点为 b 的概率

Symmetric random walk

Let $a$ and $b$ be positive integers, and let $W_{m}$ for $m \in \{0,1,\ldots ,n\}$ be a symmetric random walk starting at $a$ . Calculate

\mathbb{P}\left(\min_{0 \leq m \leq n} W_{m} \leq 0, W_{n} = b\right)

解析

设对称随机游走 $W_m$ 从 $a>0$ 出发，求

\mathbb{P}\left(\min_{0\le m\le n}W_m\le 0,\ W_n=b\right).

把路径视为 $\{-1,1\}^n$ 上等概率。

若 $n+a+b$ 为偶数且 $a+b\le n$ ，则由反射原理：从 $(0,a)$ 到 $(n,b)$ 且途中触及 0 的路径数，等于从 $(0,-a)$ 到 $(n,b)$ 的路径数。因此

\boxed{\mathbb{P}\left(\min_{0\le m\le n}W_m\le 0,\ W_n=b\right)=\frac{\binom{n}{\frac{n+a+b}{2}}}{2^n}}.

否则该概率为 0。