证明一个布朗运动鞅

令

$$X_t=\cosh(\lambda W_t)\,e^{-\lambda^2 t/2}=g(t,W_t),\quad g(t,x)=\cosh(\lambda x)e^{-\lambda^2 t/2}.$$

计算偏导：

$$\partial_t g=-\frac{\lambda^2}{2}g,\quad \partial_x g=\lambda\sinh(\lambda x)e^{-\lambda^2 t/2},\quad \partial_{xx}g=\lambda^2\cosh(\lambda x)e^{-\lambda^2 t/2}.$$

Itô 公式：

$$dX_t=\partial_t g\,dt+\partial_x g\,dW_t+\tfrac12\partial_{xx}g\,(dW_t)^2.$$

代入并用 $(dW_t)^2=dt$，$dt$ 项完全抵消，得到

$$dX_t=\lambda\sinh(\lambda W_t)e^{-\lambda^2 t/2}\,dW_t.$$

因此 $X_t$ 无漂移项，且满足适当可积条件时为鞅。