鞅判断

Show the martingale 2

个人笔记

若 $W_t$ 为标准布朗运动， $W_t^3$ 是否为鞅？

If $W_{t}$ is a standard Brownian motion, is $W_{t}^{3}$ a martingale?

解析

不是。

用 Itô 公式对 $X_t=W_t^3$ ：

d(W_t^3)=3W_t^2\,dW_t+\tfrac12\cdot 6W_t\,(dW_t)^2=3W_t^2\,dW_t+3W_t\,dt.

存在漂移项 $3W_t\,dt$ ，所以 $W_t^3$ 不是鞅。

（补充： $W_t^3-3tW_t$ 才是鞅。）

d(W_t^3)=3W_t^2\,dW_t+\tfrac12\cdot 6W_t\,(dW_t)^2=3W_t^2\,dW_t+3W_t\,dt.