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E[X∣sin⁡X]\mathbb{E}[X\mid\sin X]

X|sinX

专题
General / 综合
难度
L4

题目详情

Let XX be a random variable uniformly distributed on [0,π][0,\pi ] . Find E[X∣sin⁡X]E[X\mid \sin X]

解析

X∼Unif[0,π]X\sim\mathrm{Unif}[0,\pi]。

给定 sin⁡X=s∈[0,1]\sin X=s\in[0,1] 时，XX 只能是 arcsin⁡(s)\arcsin(s) 或 π−arcsin⁡(s)\pi-\arcsin(s)，且在该条件下两者对称等可能，因此

E[X∣sin⁡X]=π2.\boxed{\mathbb{E}[X\mid \sin X]=\frac{\pi}{2}}.