返回题库

六次矩不等式

六次方的期望

专题
General / 综合
难度
L4

题目详情

量化面试题：六次矩不等式。

英文原题

Let XX be a random variable. Is it always true that E[X6]≥E[X]E[X5]\mathbb{E}\left[X^{6}\right] \geq \mathbb{E}\left[X\right] \mathbb{E}\left[X^{5}\right] ?

解析

总成立。

若 E∣X∣=∞\mathbb{E}|X|=\infty 或 E∣X∣5=∞\mathbb{E}|X|^5=\infty，则 E[X6]=∞\mathbb{E}[X^6]=\infty，不等式显然成立。

否则取 X^\widehat X 与 XX 同分布且独立。由于 t↦t5t\mapsto t^5 在 [0,∞)[0,\infty) 单调递增，有

(∣X∣−∣X^∣)(∣X∣5−∣X^∣5)≥0.(|X|-|\widehat X|)(|X|^5-|\widehat X|^5)\ge 0.

取期望并展开：

0≤2E[∣X∣6]−2E[∣X∣] E[∣X∣5]⇒E[∣X∣6]≥E[∣X∣] E[∣X∣5].0\le 2\mathbb{E}[|X|^6]-2\mathbb{E}[|X|]\,\mathbb{E}[|X|^5] \Rightarrow \mathbb{E}[|X|^6]\ge \mathbb{E}[|X|]\,\mathbb{E}[|X|^5].

又 E[∣X∣]≥E[X]\mathbb{E}[|X|]\ge \mathbb{E}[X] 且 E[∣X∣5]≥E[X5]\mathbb{E}[|X|^5]\ge \mathbb{E}[X^5]，故

E[X6]≥E[X] E[X5].\boxed{\mathbb{E}[X^6]\ge \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[X^5]}.

英文解析

(∣X∣−∣X^∣)(∣X∣5−∣X^∣5)≥0.(|X|-|\widehat X|)(|X|^5-|\widehat X|^5)\ge 0. 0≤2E[∣X∣6]−2E[∣X∣] E[∣X∣5]⇒E[∣X∣6]≥E[∣X∣] E[∣X∣5].0\le 2\mathbb{E}[|X|^6]-2\mathbb{E}[|X|]\,\mathbb{E}[|X|^5] \Rightarrow \mathbb{E}[|X|^6]\ge \mathbb{E}[|X|]\,\mathbb{E}[|X|^5]. E[X6]≥E[X] E[X5].\boxed{\mathbb{E}[X^6]\ge \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[X^5]}.