六次矩不等式 六次方的期望 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Let XXX be a random variable. Is it always true that E[X6]≥E[X]E[X5]\mathbb{E}\left[X^{6}\right] \geq \mathbb{E}\left[X\right] \mathbb{E}\left[X^{5}\right]E[X6]≥E[X]E[X5] ? 解析 总成立。 若 E∣X∣=∞\mathbb{E}|X|=\inftyE∣X∣=∞ 或 E∣X∣5=∞\mathbb{E}|X|^5=\inftyE∣X∣5=∞，则 E[X6]=∞\mathbb{E}[X^6]=\inftyE[X6]=∞，不等式显然成立。 否则取 X^\widehat XX 与 XXX 同分布且独立。由于 t↦t5t\mapsto t^5t↦t5 在 [0,∞)[0,\infty)[0,∞) 单调递增，有 (∣X∣−∣X^∣)(∣X∣5−∣X^∣5)≥0.(|X|-|\widehat X|)(|X|^5-|\widehat X|^5)\ge 0.(∣X∣−∣X∣)(∣X∣5−∣X∣5)≥0. 取期望并展开： 0≤2E[∣X∣6]−2E[∣X∣] E[∣X∣5]⇒E[∣X∣6]≥E[∣X∣] E[∣X∣5].0\le 2\mathbb{E}[|X|^6]-2\mathbb{E}[|X|]\,\mathbb{E}[|X|^5] \Rightarrow \mathbb{E}[|X|^6]\ge \mathbb{E}[|X|]\,\mathbb{E}[|X|^5].0≤2E[∣X∣6]−2E[∣X∣]E[∣X∣5]⇒E[∣X∣6]≥E[∣X∣]E[∣X∣5]. 又 E[∣X∣]≥E[X]\mathbb{E}[|X|]\ge \mathbb{E}[X]E[∣X∣]≥E[X] 且 E[∣X∣5]≥E[X5]\mathbb{E}[|X|^5]\ge \mathbb{E}[X^5]E[∣X∣5]≥E[X5]，故 E[X6]≥E[X] E[X5].\boxed{\mathbb{E}[X^6]\ge \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[X^5]}.E[X6]≥E[X]E[X5].