正态分布的二阶矩与指数矩 Calculate the values 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 If XXX is N(μ,σ)N(\mu ,\sigma)N(μ,σ) and λ>0\lambda >0λ>0 , calculate the values of E(X2)\mathbb{E}\left(X^{2}\right)E(X2) and E(exp(λX))\mathbb{E}(\exp (\lambda X))E(exp(λX)) 解析 设 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)。 由 Var(X)=E[X2]−(E[X])2\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2Var(X)=E[X2]−(E[X])2 得 E[X2]=μ2+σ2.\boxed{\mathbb{E}[X^2]=\mu^2+\sigma^2}.E[X2]=μ2+σ2. 又正态的矩母函数（指数矩）为 E[eλX]=exp(μλ+12σ2λ2)(λ>0).\boxed{\mathbb{E}[e^{\lambda X}]=\exp\left(\mu\lambda+\frac{1}{2}\sigma^2\lambda^2\right)}\quad(\lambda>0).E[eλX]=exp(μλ+21σ2λ2)(λ>0).