三资产相关性：能否出现给定的相关矩阵

Suppose three assets

专题: Statistics / 统计
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

Suppose three assets $A, B, C$ are such that the correlation coefficient of $A$ and $B$ is 0.9 and the correlation coefficient of $B$ and $C$ is 0.8. Is it possible for $A$ and $C$ to have correlation coefficient 0.1?

解析

相关矩阵为

M=\begin{pmatrix} 1 & 0.9 & 0.1\\ 0.9 & 1 & 0.8\\ 0.1 & 0.8 & 1 \end{pmatrix}.

相关矩阵必须是半正定（PSD）。对 $3\times 3$ 对称矩阵，除对角线为 1 外，还需行列式非负。

利用公式

\det M=1+2abc-a^2-b^2-c^2

其中 $a=0.9,b=0.8,c=0.1$ ，得

\det M=1+2\cdot 0.9\cdot 0.8\cdot 0.1-0.9^2-0.8^2-0.1^2 =1+0.144-1.46=-0.316<0.

故 $M$ 非 PSD，不能作为相关矩阵。

因此 $\boxed{A\text{ 与 }C\text{ 不可能相关系数为 }0.1}$ （在给定 AB=0.9、BC=0.8 前提下）。