1..100 猜数：公平价格

设你猜 $n$ 的概率为 $q_n$，则对手若选 $n$，你的期望收益为 $nq_n$。对手会选使其最小的 $n$，你要最大化 $\min_n(nq_n)$，最优为让 $nq_n$ 拉平：$q_n=c/n$。

由 $\sum_{n=1}^{100}q_n=1$ 得

$$c=\frac{1}{H_{100}},\quad H_{100}=\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}.$$

因此最优策略 $\boxed{q_n\propto 1/n}$，公平价格（保证期望收益）为

$$\boxed{\frac{1}{H_{100}}}\approx 0.193.$$

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英文解析

$$c=\frac{1}{H_{100}},\quad H_{100}=\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n}.$$ $$\boxed{\frac{1}{H_{100}}}\approx 0.193.$$