若 与 同分布

不一定。

反例：若 $X$ 服从关于 0 对称的分布（例如标准正态），则 $X\stackrel{d}= -X$。取 $a=1,b=-1$，有 $aX\stackrel{d}=bX$，但 $a\ne b$。

若进一步假设 $a,b>0$ 且 $\mathbb{P}(X\ne 0)>0$，则必有 $a=b$。

证明思路：若 $a>b>0$ 且 $aX\stackrel{d}=bX$，则对任意 $t>0$ 有

$$\mathbb{P}(X>t)=\mathbb{P}(bX>bt)=\mathbb{P}(aX>bt)=\mathbb{P}\left(X>\frac{b}{a}t\right).$$

迭代得到 $\mathbb{P}(X>t)=\mathbb{P}(X>(b/a)^n t)$。令 $n\to\infty$，右侧趋于 $\mathbb{P}(X>0)$，从而推出 $\mathbb{P}(X>t)$ 对所有 $t>0$ 恒等于常数，结合 $\lim_{t\to\infty}\mathbb{P}(X>t)=0$ 得 $\mathbb{P}(X>t)=0$，即 $X\le 0$ 几乎处处。

同理也可得 $\mathbb{P}(X<-t)=0$，因此 $X=0$ 几乎处处，与 $\mathbb{P}(X\ne 0)>0$ 矛盾。

所以不能有 $a>b$，只能 $\boxed{a=b}$。

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英文解析

$$\mathbb{P}(X>t)=\mathbb{P}(bX>bt)=\mathbb{P}(aX>bt)=\mathbb{P}\left(X>\frac{b}{a}t\right).$$