若 $aX$ 与 $bX$ 同分布，是否必有 $a=b$ ？

What if you also assume that $a$ and $b$ are positive?

专题: General / 综合
难度: L4
来源: QuantQuestion

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Let $X$ with $P(X\neq 0) > 0$ be a random variable. Suppose that for some real numbers $a$ and $b$ the random variables $aX$ and $bX$ have the same distribution. Is it true that $a = b$ ? What if you also assume that $a$ and $b$ are positive?

解析

不一定。

反例：若 $X$ 服从关于 0 对称的分布（例如标准正态），则 $X\stackrel{d}= -X$ 。取 $a=1,b=-1$ ，有 $aX\stackrel{d}=bX$ ，但 $a\ne b$ 。

若进一步假设 $a,b>0$ 且 $\mathbb{P}(X\ne 0)>0$ ，则必有 $a=b$ 。

证明思路：若 $a>b>0$ 且 $aX\stackrel{d}=bX$ ，则对任意 $t>0$ 有

\mathbb{P}(X>t)=\mathbb{P}(bX>bt)=\mathbb{P}(aX>bt)=\mathbb{P}\left(X>\frac{b}{a}t\right).

迭代得到 $\mathbb{P}(X>t)=\mathbb{P}(X>(b/a)^n t)$ 。令 $n\to\infty$ ，右侧趋于 $\mathbb{P}(X>0)$ ，从而推出 $\mathbb{P}(X>t)$ 对所有 $t>0$ 恒等于常数，结合 $\lim_{t\to\infty}\mathbb{P}(X>t)=0$ 得 $\mathbb{P}(X>t)=0$ ，即 $X\le 0$ 几乎处处。

同理也可得 $\mathbb{P}(X<-t)=0$ ，因此 $X=0$ 几乎处处，与 $\mathbb{P}(X\ne 0)>0$ 矛盾。

所以不能有 $a>b$ ，只能 $\boxed{a=b}$ 。