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巧克力豆饼干

chocolate chip cookies

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

概率题：100 块饼干分 N 颗巧克力豆：至少 90% 都有豆。

英文原题

You are making chocolate chip cookies. You add NN chips randomly to the cookie dough, and you randomly split the dough into 100 equal cookies. How many chips should go into the dough to give a probability of at least 90%90\% that every cookie has at least one chip?

解析

把每颗巧克力豆独立等概率落入 100 块饼干之一（经典占位/投球入箱模型）。

令 EE 为“存在至少一块饼干没有豆”。用并集界：

P(E)≤100⋅P(指定某块无豆)=100(99100)N.\mathbb{P}(E)\le 100\cdot\mathbb{P}(\text{指定某块无豆})=100\left(\frac{99}{100}\right)^N.

要使 P(每块至少 1 颗)≥0.9\mathbb{P}(\text{每块至少 1 颗})\ge 0.9，只需令右边 ≤0.1\le 0.1：

100(99100)N≤0.1⇒(99100)N≤10−3⇒N≥ln⁡1000ln⁡(100/99)≈687.4.100\left(\frac{99}{100}\right)^N\le 0.1 \Rightarrow \left(\frac{99}{100}\right)^N\le 10^{-3} \Rightarrow N\ge \frac{\ln 1000}{\ln(100/99)}\approx 687.4.

因此取

N=688\boxed{N=688}

即可保证（该上界是充分条件；更精细的近似会给出接近 686–690 的阈值）。

英文解析

100(99100)N≤0.1⇒(99100)N≤10−3⇒N≥ln⁡1000ln⁡(100/99)≈687.4.100\left(\frac{99}{100}\right)^N\le 0.1 \Rightarrow \left(\frac{99}{100}\right)^N\le 10^{-3} \Rightarrow N\ge \frac{\ln 1000}{\ln(100/99)}\approx 687.4. N=688\boxed{N=688}