矩阵交换子

交换律 2

个人笔记

编程题：是否存在 $AB-BA=I_n$ ？。

Can you find $n \times n$ matrices $A$ and $B$ such that $AB - BAN$ , where $I_n$ is the identity matrix of size $n$ ?

解析

不存在。

对任意同型方阵 $A,B$ ，有

\operatorname{tr}(AB-BA)=\operatorname{tr}(AB)-\operatorname{tr}(BA)=0.

但若 $AB-BA=I_n$ ，则左侧迹应为 0，而右侧

\operatorname{tr}(I_n)=n\ne 0,

矛盾。因此不存在满足 $AB-BA=I_n$ 的有限维方阵 $A,B$ 。

\operatorname{tr}(AB-BA)=\operatorname{tr}(AB)-\operatorname{tr}(BA)=0.

\operatorname{tr}(I_n)=n\ne 0,