用特征分解计算 $A\nu$

特征值与特征向量2

专题: Algorithmic Programming / 算法编程
难度: L4
来源: QuantQuestion

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The $2\times 2$ matrix $A$ has eigenvalues 2 and - 3 with corresponding eigenvectors $\left( \begin{array}{l}1\\ 2 \end{array} \right)$ and $\left( \begin{array}{c} - 1\\ 3 \end{array} \right)$ If $\nu = \left( \begin{array}{c}3\\ 1 \end{array} \right)$ find $A\nu$

解析

记 $v_1=(1,2)^T$ 对应特征值 2， $v_2=(-1,3)^T$ 对应特征值 -3。

先把 $\nu=(3,1)^T$ 表成特征向量线性组合：设

\nu=a v_1+b v_2.

则

(a-b,\ 2a+3b)=(3,1) \Rightarrow a=2,\ b=-1.

所以 $\nu=2v_1- v_2$ 。

因此

A\nu=2\cdot 2v_1+(-3)\cdot(-1)v_2=4v_1+3v_2.

计算得

4(1,2)+3(-1,3)=(1,17).

所以 $\boxed{A\nu=(1,17)^T}$ 。