特征分解

记 $v_1=(1,2)^T$ 对应特征值 2，$v_2=(-1,3)^T$ 对应特征值 -3。

先把 $\nu=(3,1)^T$ 表成特征向量线性组合：设

$$\nu=a v_1+b v_2.$$

则

$$(a-b,\ 2a+3b)=(3,1) \Rightarrow a=2,\ b=-1.$$

所以 $\nu=2v_1- v_2$。

因此

$$A\nu=2\cdot 2v_1+(-3)\cdot(-1)v_2=4v_1+3v_2.$$

计算得

$$4(1,2)+3(-1,3)=(1,17).$$

所以 $\boxed{A\nu=(1,17)^T}$。

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英文解析

Given that $v_1=(1,2)^T$ corresponds to eigenvalue 2 and $v_2=(-1,3)^T$ corresponds to eigenvalue -3.

First, express $\nu=(3,1)^T$ as a linear combination of eigenvectors: let
$$\nu=a v_1+b v_2.$$
then
$$(a-b,\ 2a+3b)=(3,1) \Rightarrow a=2,\ b=-1.$$
so $\nu=2v_1- v_2$.

Therefore
$$A\nu=2\cdot 2v_1+(-3)\cdot(-1)v_2=4v_1+3v_2.$$
which yields
$$4(1,2)+3(-1,3)=(1,17).$$
so $\boxed{A\nu=(1,17)^T}$.