随机整数 $x\in[1,10^{12}]$，$x^3$

末两位只取决于 $x\pmod{100}$，故需解

$$x^3\equiv 51\pmod{100}.$$

等价分解为模 4 与模 25：

• $51\equiv 3\pmod 4$，故 $x\equiv 3\pmod 4$；
• 在模 25 下，逐步可得唯一解 $x\equiv 1\pmod{25}$。

中国剩余定理给出在模 100 下唯一解：

$$x\equiv 51\pmod{100}.$$

在每 100 个连续整数里恰有 1 个满足。又 $10^{12}$ 是 100 的倍数，所以概率为

$$\boxed{\frac{1}{100}}.$$