证明 $\frac{e^x+e^y}{2}\ge e^{ Math proof 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 证明 ex+ey2≥ex+y2,∀x,y∈R.\frac{e^{x}+e^{y}}{2}\ge e^{\frac{x+y}{2}},\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.2ex+ey≥e2x+y,∀x,y∈R. Show that ex+ey2≥ex+y2,∀x,y∈R.\frac{e^{x} + e^{y}}{2} \geq e^{\frac{x + y}{2}}, \forall x, y \in \mathbb{R}.2ex+ey≥e2x+y,∀x,y∈R. 解析 令 a=ex>0,b=ey>0.a=e^x>0,\quad b=e^y>0.a=ex>0,b=ey>0. 由算术-几何均值不等式（AM-GM）： a+b2≥ab.\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.2a+b≥ab. 代回得到 ex+ey2≥exey=ex+y2.\frac{e^x+e^y}{2}\ge \sqrt{e^x e^y}=e^{\frac{x+y}{2}}.2ex+ey≥exey=e2x+y. 证毕。