指数凸性

令

$$a=e^x>0,\quad b=e^y>0.$$

由算术-几何均值不等式（AM-GM）：

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$

代回得到

$$\frac{e^x+e^y}{2}\ge \sqrt{e^x e^y}=e^{\frac{x+y}{2}}.$$

证毕。

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英文解析

Let

$$a=e^x>0,\quad b=e^y>0.$$

By the Arithmetic Mean-Geometric Mean Inequality (AM-GM):

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$

Substituting back yields

$$\frac{e^x+e^y}{2}\ge \sqrt{e^x e^y}=e^{\frac{x+y}{2}}.$$

Q.E.D.