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可分离微分方程：两题

Separable Differential Equations

专题
General / 综合
难度
L4

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  1. 解初值问题：y′+6xy=0, y(0)=1y'+6xy=0,\ y(0)=1。

  2. 解：y′=x−yx+yy'=\frac{x-y}{x+y}。

英文原题

  1. Solve the ODE with initial condition
    y′+6xy=0,y(0)=1.y' + 6xy = 0,\quad y(0)=1.

  2. Solve
    y′  =  x−y x+y .y' \;=\; \frac{x - y}{\,x + y\,}.

解析
  1. 分离变量：dyy=−6x dx\frac{dy}{y}=-6x\,dx，得
y=e−3x2.y=e^{-3x^2}.
  1. 令 z=x+yz=x+y，则 y=z−xy=z-x 且 y′=z′−1y'=z'-1。

代入得 z′=2xzz' = \frac{2x}{z}，于是 z dz=2x dxz\,dz=2x\,dx，得到

(x+y)2=2x2+C,(x+y)^2=2x^2+C,

等价于 y2+2xy−x2=C~y^2+2xy-x^2=\tilde C。

英文解析

1.Rewrite:
dyy  =  −6x dx.\frac{dy}{y} \;=\; -6x\,dx.
Hence
ln⁡y  =  −3x2+C⟹y  =  e−3x2.\ln y \;=\; -3x^2 + C \quad\Longrightarrow\quad y \;=\; e^{-3x^2}.
Using the condition y(0)=1y(0)=1 leads to C=0,C=0, so
y  =  e−3x2.y \;=\; e^{-3x^2}.
2.
Let z=x+y.z = x + y. Then y=z−x.y = z - x.
Differentiate:
y′=dzdx  −  1.y' = \frac{dz}{dx} \;-\; 1.
The ODE becomes
dzdx−1  =  x−(z−x)z  =  2x−zz.\frac{dz}{dx} - 1 \;=\; \frac{x - (z - x)}{z} \;=\; \frac{2x - z}{z}.
Hence
dzdx  =  1  +  2x−zz  =  2xz.\frac{dz}{dx} \;=\; 1 \;+\; \frac{2x - z}{z} \;=\; \frac{2x}{z}.
So
z dz  =  2x dx⟹12 z2  =  x2+C⟹z2  =  2x2+C′.z\,dz \;=\; 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac12\,z^2 \;=\; x^2 + C \quad\Longrightarrow\quad z^2 \;=\; 2x^2 + C'.
Recalling z=x+y,z = x + y, we get
(x+y)2  =  2x2+C′,(x + y)^2 \;=\; 2x^2 + C',
or equivalently
y2  +  2xy  −  x2  =  C~.y^2 \;+\; 2xy \;-\; x^2 \;=\; \widetilde{C}.