$125^{100}$ 有多少位数字？

注意 $125=5^3$，所以

$$125^{100}=5^{300}=\left(\frac{10}{2}\right)^{300}=\frac{10^{300}}{2^{300}}.$$

我们只需判断 $2^{300}$ 处于哪个 $10$ 的幂之间。

下界：$2^{10}=1024>1000=10^3$，因此

$$2^{300}=(2^{10})^{30}>10^{90}.$$

上界：$2^{10}=1024<1050=1.05\times 10^3$，因此

$$2^{300}=(2^{10})^{30}< (1.05^{30})\times 10^{90}.$$

又因为 $1.05^{10}<1.63$，所以 $1.05^{30}<(1.63)^3<4.4<10$，从而 $2^{300}<10^{91}$。

因此

$$10^{90}<2^{300}<10^{91} \Rightarrow 10^{209}<\frac{10^{300}}{2^{300}}<10^{210}.$$

所以 $125^{100}$ 介于 $10^{209}$ 与 $10^{210}$ 之间，位数为 $\boxed{210}$。