Black-Scholes 公式
C = S 0 N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 ) , P = K e − r T N ( − d 2 ) − S 0 N ( − d 1 ) , C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1), C = S 0 N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 ) , P = K e − r T N ( − d 2 ) − S 0 N ( − d 1 ) , 其中 d 2 = d 1 − σ T d_2=d_1-\sigma\sqrt{T} d 2 = d 1 − σ T
当 σ → ∞ \sigma\to\infty σ → ∞ d 1 → + ∞ d_1\to +\infty d 1 → + ∞ d 2 → − ∞ d_2\to -\infty d 2 → − ∞ N ( d 1 ) → 1 N(d_1)\to 1 N ( d 1 ) → 1 N ( d 2 ) → 0 N(d_2)\to 0 N ( d 2 ) → 0
于是
lim σ → ∞ C = S 0 , q q u a d lim σ → ∞ P = K e − r T . \boxed{\lim_{\sigma\to\infty}C=S_0},\\qquad \boxed{\lim_{\sigma\to\infty}P=Ke^{-rT}}. σ → ∞ lim C = S 0 , q q u a d σ → ∞ lim P = K e − r T . 英文解析
Black-Scholes formulaC = S 0 N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 ) , P = K e − r T N ( − d 2 ) − S 0 N ( − d 1 ) , C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),\quad P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1), C = S 0 N ( d 1 ) − K e − r T N ( d 2 ) , P = K e − r T N ( − d 2 ) − S 0 N ( − d 1 ) , d 2 = d 1 − σ T d_2=d_1-\sigma\sqrt{T} d 2 = d 1 − σ T
When σ → ∞ \sigma\to\infty σ → ∞ d 1 → + ∞ d_1\to +\infty d 1 → + ∞ d 2 → − ∞ d_2\to -\infty d 2 → − ∞ N ( d 1 ) → 1 N(d_1)\to 1 N ( d 1 ) → 1 N ( d 2 ) → 0 N(d_2)\to 0 N ( d 2 ) → 0
Thuslim σ → ∞ C = S 0 , q q u a d lim σ → ∞ P = K e − r T . \boxed{\lim_{\sigma\to\infty}C=S_0},\\qquad \boxed{\lim_{\sigma\to\infty}P=Ke^{-rT}}. σ → ∞ lim C = S 0 , q q u a d σ → ∞ lim P = K e − r T .