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等相关矩阵的可行相关系数范围

Valid Range for an Equal-Correlation Matrix

专题
Probability / 概率
难度
L4

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有 nn 个随机变量，均值为 0、方差为 1，且任意两两之间相关系数都相同，等于 rr。要使得到的相关/协方差矩阵为半正定（PSD），rr 的可行范围是什么？

Consider nn random variables with zero mean and unit variance. If the correlation between any two distinct variables is the same value, rr, what is the feasible range for rr such that the resulting covariance matrix is positive semi-definite (PSD)?

解析

相关矩阵为等相关矩阵

Σ=(1−r)I+rJ,\Sigma=(1-r)I+rJ,

其中 JJ 为全 1 矩阵。

其特征值为

λ1=1+(n−1)r,λ2=1−r (重数 n−1).\lambda_1=1+(n-1)r,\quad \lambda_2=1-r\ \text{(重数 }n-1\text{)}.

半正定要求两者都非负：

1+(n−1)r≥0⇒r≥−1n−1,1−r≥0⇒r≤1.1+(n-1)r\ge 0\Rightarrow r\ge -\frac{1}{n-1},\qquad 1-r\ge 0\Rightarrow r\le 1.

因此

−1n−1≤r≤1.\boxed{-\frac{1}{n-1}\le r\le 1}.