零相关与独立

一般不能。

反例：令 $X\sim\mathcal{N}(0,1)$，再取独立的随机符号 $S\in\{+1,-1\}$，且 $\mathbb{P}(S=1)=\mathbb{P}(S=-1)=1/2$，令

$$Y=S\,X.$$

则 $Y$ 仍服从 $\mathcal{N}(0,1)$，且

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[S X^2]=\mathbb{E}[S]\,\mathbb{E}[X^2]=0,$$

所以相关为 0。但 $Y$ 与 $X$ 显然不独立（例如 $|Y|=|X|$ 几乎处处成立）。

补充：若进一步假设 $(X,Y)$ 是联合正态（bivariate normal），则“零相关”才等价于独立。

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英文解析

Generally, no.

Counterexample: Let $X\sim\mathcal{N}(0,1)$, and let $S\in\{+1,-1\}$be an independent random sign with $\mathbb{P}(S=1)=\mathbb{P}(S=-1)=1/2$. Define

$$Y=S\,X.$$

Then $Y$ also follows $\mathcal{N}(0,1)$, and

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[S X^2]=\mathbb{E}[S]\,\mathbb{E}[X^2]=0,$$

so the correlation is zero. However, $Y$ and $X$ are clearly not independent (for example, $|Y|=|X|$ holds almost surely).

Supplement: If we further assume that $(X,Y)$ is jointly normal (bivariate normal), then "zero correlation" is equivalent to independence.