零相关是否推出独立？

Uncorrelated vs. Independent Normal Variables

专题: Statistics / 统计
难度: L4
来源: QuantQuestion

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令 $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ 、 $Y\sim\mathcal{N}(0,1)$ 为两个标准正态随机变量。若它们的相关系数为 0，即 $\rho(X,Y)=0$ ，是否能推出 $X$ 与 $Y$ 独立？

Let $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ and $Y \sim \mathcal{N}(0,1)$ be two standard normal random variables. If their correlation is zero, $\rho(X, Y) = 0$ , does this imply that $X$ and $Y$ are independent?

解析

一般不能。

反例：令 $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ ，再取独立的随机符号 $S\in\{+1,-1\}$ ，且 $\mathbb{P}(S=1)=\mathbb{P}(S=-1)=1/2$ ，令

Y=S\,X.

则 $Y$ 仍服从 $\mathcal{N}(0,1)$ ，且

\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[S X^2]=\mathbb{E}[S]\,\mathbb{E}[X^2]=0,

所以相关为 0。但 $Y$ 与 $X$ 显然不独立（例如 $|Y|=|X|$ 几乎处处成立）。

补充：若进一步假设 $(X,Y)$ 是联合正态（bivariate normal），则“零相关”才等价于独立。