说谎者链条

令事件 $T_A$ 表示“A 说真话”。先验 $\mathbb{P}(T_A)=1/3$。

设 B 的陈述为“$T_A$”。若 B 说真话（概率 $1/3$），则他陈述为 $T_A$；若 B 说谎（概率 $2/3$），则他陈述为 $\neg T_A$。

我们观测到的事件 $E$ 是：C 的话为“B 说 $T_A$”。

在 $T_A$ 为真时，$E$ 发生当且仅当（B 真且 C 真）或（B 假且 C 假）：

$$\mathbb{P}(E\mid T_A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{9}.$$

在 $T_A$ 为假时，$E$ 发生当且仅当（B 真且 C 假）或（B 假且 C 真）：

$$\mathbb{P}(E\mid \neg T_A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{9}.$$

用贝叶斯公式：

$$\mathbb{P}(T_A\mid E)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{9}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{9}+\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{9}}=\frac{5}{13}.$$

答案：$\boxed{\frac{5}{13}}$。

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英文解析

Let event $T_A$ denote "A tells the truth". The prior probability is $\mathbb{P}(T_A)=1/3$.

Let B's statement be "$T_A$". If B tells the truth (probability$1/3$), he states$T_A$; if B lies (probability$2/3$), he states$\neg T_A$.

The observed event $E$ is: C says "B states $T_A$".

When $T_A$ is true, $E$ occurs if and only if (B tells the truth and C tells the truth) or (B lies and C lies):

$$\mathbb{P}(E\mid T_A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{9}.$$

When $T_A$ is false, $E$ occurs if and only if (B tells the truth and C lies) or (B lies and C tells the truth):

$$\mathbb{P}(E\mid \neg T_A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{9}.$$

Using Bayes' theorem:

$$\mathbb{P}(T_A\mid E)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{9}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{9}+\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{9}}=\frac{5}{13}.$$

Answer: $\boxed{\frac{5}{13}}$.