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说谎者链条：A 真话的后验概率

The Chain of Liars

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

四个人（A、B、C、D）各自独立地以 1/31/3 的概率说真话、以 2/32/3 的概率说谎。

C 说：“B 说 A 在说真话。”

问：A 实际上在说真话的概率是多少？

Four people (A, B, C, D) each tell the truth with probability 1/31/3 and lie with probability 2/32/3, independently. C says that B says that A is telling the truth. What is the probability that A is actually telling the truth?

解析

令事件 TAT_A 表示“A 说真话”。先验 P(TA)=1/3\mathbb{P}(T_A)=1/3。

设 B 的陈述为“TAT_A”。若 B 说真话（概率 1/31/3），则他陈述为 TAT_A；若 B 说谎（概率 2/32/3），则他陈述为 ¬TA\neg T_A。

我们观测到的事件 EE 是：C 的话为“B 说 TAT_A”。

在 TAT_A 为真时，EE 发生当且仅当（B 真且 C 真）或（B 假且 C 假）：

P(E∣TA)=13⋅13+23⋅23=59.\mathbb{P}(E\mid T_A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{5}{9}.

在 TAT_A 为假时，EE 发生当且仅当（B 真且 C 假）或（B 假且 C 真）：

P(E∣¬TA)=13⋅23+23⋅13=49.\mathbb{P}(E\mid \neg T_A)=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{9}.

用贝叶斯公式：

P(TA∣E)=13⋅5913⋅59+23⋅49=513.\mathbb{P}(T_A\mid E)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{9}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{9}+\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{9}}=\frac{5}{13}.

答案：513\boxed{\frac{5}{13}}。