更快掷出正面的人：条件期望

令 $X$ 为 Alex 得到第一次正面所需掷币次数，$Y$ 为 Blake 的对应次数。则 $X,Y$ 独立同分布，且

$$\mathbb{P}(X=k)=2^{-k},\quad k=1,2,\ldots$$

我们要算 $\mathbb{E}[X\mid X<Y]$。

对 $k\ge 1$，有

$$\mathbb{P}(X=k, X<Y)=\mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y>k)=2^{-k}\cdot 2^{-k}=4^{-k}.$$

又

$$\mathbb{P}(X=Y)=\sum_{k\ge 1}4^{-k}=\frac{1/4}{1-1/4}=\frac{1}{3},$$

由对称性 $\mathbb{P}(X<Y)=\mathbb{P}(X>Y)=\frac{1-\mathbb{P}(X=Y)}{2}=\frac{1}{3}$。

因此

$$\mathbb{P}(X=k\mid X<Y)=\frac{4^{-k}}{1/3}=3\cdot 4^{-k}.$$

从而

$$\mathbb{E}[X\mid X<Y]=\sum_{k\ge 1} k\cdot 3\cdot 4^{-k}=3\cdot \frac{\frac14}{(1-\frac14)^2}=3\cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{3}.$$

答案：$\boxed{\frac{4}{3}}$。