PUMaC 2012 · 代数（B 组） · 第 4 题

PUMaC 2012 — Algebra (Division B) — Problem 4

[ 4 ] If x , y , and z are real numbers with + + = 36, find z x y x − y y − z z − x 2012 + · · z x y 3 k

解析

[ 4 ] If x , y , and z are real numbers with + + = 36, find z x y x − y y − z z − x 2012 + · · z x y 1 Solution: ( x − y ) xy + ( y − z ) yz + ( z − x ) xz 36 = xyz 2 2 2 2 ( x − y ) xy + y z − yz + xz − x z = xyz 2 ( x − y ) xy − ( x + y )( x − y ) z + z ( x − y ) = xyz 2 ( x − y )( xy − xz − yz + z ) = xyz ( x − y )( y − z )( x − z ) = xyz ( x − y )( y − z )( z − x ) 36 = − xyz ( x − y )( y − z )( z − x ) 2012 + = 2012 − 36 = 1976 xyz Answer: 1976 3 k