HMMT 二月 2007 · CALC 赛 · 第 10 题
HMMT February 2007 — CALC Round — Problem 10
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- [ 8 ] Compute ∫ ∞ − x e sin( x ) dx x 0 1
解析
- [ 8 ] Compute ∫ ∞ − x e sin( x ) dx x 0 π Answer: . We can compute the integral by introducing a parameter and exchanging the order of 4 integration: ( ) (∫ ) (∫ ) ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ 1 1 ∞ sin( x ) − x − x − x e d x = e cos( ax )d a d x = e cos( ax )d x d a x 0 0 0 0 0 ∣ [ ] ∞ [∫ ] ∫ ∫ ∣ 1 ∞ 1 ( − 1+ ai ) x e ∣ ( − 1+ ai ) x = Re e d x d a = Re d a ∣ ∣ − 1 + ai 0 0 0 x =0 [ ] [ ] ∫ ∫ 1 1 1 1 + ai = Re d a = Re d a 2 1 − ai 1 + a 0 0 ∣ 1 ∫ ∣ 1 1 π ∣ − 1 = d a = tan ( a ) = ∣ 2 ∣ 1 + a 4 0 a =0 3