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HMMT 二月 2007 · CALC 赛 · 第 10 题

HMMT February 2007 — CALC Round — Problem 10

专题
Contest Math / 竞赛数学
难度
L3
来源
HMMT

题目详情

英文原题

  1. [ 8 ] Compute
    ∫
    ∞
    − xe sin( x )
    0 xdx 1
解析

英文解析

  1. [ 8 ] Compute
    ∫
    ∞
    − xe sin( x )
    0 xdxπ
    Answer: . We can compute the integral by introducing a parameter and exchanging the order ofintegration:4
    ( ) (∫ ) (∫ )
    ∫ ∫ ∫
    ∞ ∞ 1 1 ∞
    sin( x ) − x − x − xe d x = e cos( ax )d a d x = e cos( ax )d x d a
    0 0 0 0 0 x
    ∣
    [ ]
    ∞
    [∫ ]
    ∫ ∫
    ∣
    1 ∞ 1
    ( − 1+ ai ) xe
    ∣
    ( − 1+ ai ) x = Re e d x d a = Re d a
    ∣
    ∣
    − 1 + ai
    0 0 0
    x =0
    [ ] [ ]
    ∫ ∫
    1 1
    1 1 + ai = Re d a = Re d a
    1 − ai 1 + a 2
    0 0
    ∣
    ∫1
    ∣
    1 π1
    ∣
    − 1 = d a = tan ( a ) =
    ∣
    ∣2
    1 + a 4
    a =00 3