HMMT 二月 2005 · 冲刺赛 · 第 5 题
HMMT February 2005 — Guts Round — Problem 5
题目详情
英文原题
- [6] For how many integers n between 1 and 2005, inclusive, is 2 · 6 · 10 · · · (4 n − 2)
divisible by n !?
解析
英文解析
- For how many integers n between 1 and 2005, inclusive, is 2 · 6 · 10 · · · (4 n − 2) divisibleby n !?
Solution: 2005
Note thatn
2 · 6 · 10 · · · (4 n − 2) = 2 · 1 · 3 · 5 · · · (2 n − 1)
1 · 2 · 3 · · · 2 nn = 2 ·
2 · 4 · 6 · · · 2 n
1 · 2 · 3 · · · 2 n = ,
1 · 2 · 3 · · · n
( )
2 nthat is, it is just (2 n )! /n !. Therefore, since (2 n )! / ( n !) = is always an integer, the 2
answer is 2005.n