HMMT 二月 2001 · 冲刺赛 · 第 8 题
HMMT February 2001 — Guts Round — Problem 8
题目详情
- [10] Compute 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + ( n − 1) n . 3 2 4 3
解析
- [10] Compute 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + ( n − 1) n . n n ∑ ∑ n ( n +1) 2 Solution: Let S = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + ( n − 1) n . We know i = and i = 2 i =1 i =1 n ( n +1)(2 n +1) 2 2 2 . So S = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + · · · + ( n − 1) n = (1 + 2 + · · · + ( n − 1) ) + 6 ( n − 1)( n )(2 n − 1) ( n − 1)( n ) ( n − 1) n ( n +1) (1 + 2 + · · · + ( n − 1)) = + = . 6 2 3 n n n n ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 We can also arrive at the solution by realizing that i = i + i + i + · · · + i =1 i =1 i =2 i =3 ( ) ( ) n n 1 2 3 n − 1 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ n ( n +1) ( n − 1) n 1 · 2 2 · 3 2 2 2 2 2 2 i = n i − i + i + i + · · · i = n − + + · · · + = 2 2 2 2 i = n i =1 i =1 i =1 i =1 n =1 n ( n +1) n ( n +1)(2 n +1) ( n − 1) n ( n +1) 1 n − S = , so S = . 2 2 6 3 3 2 4 3