HMMT 二月 2001 · 冲刺赛 · 第 8 题
HMMT February 2001 — Guts Round — Problem 8
题目详情
英文原题
- [10] Compute 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + ( n − 1) n .
3 2 4 3
解析
英文解析
- [10] Compute 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + ( n − 1) n .
n n
∑ ∑
n ( n +1)
Solution: Let S = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + ( n − 1) n . We know i = and i =2
i =1 i =12
n ( n +1)(2 n +1)
2 2 2
. So S = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + · · · + ( n − 1) n = (1 + 2 + · · · + ( n − 1) ) +
( n − 1)( n )(2 n − 1) ( n − 1)( n ) ( n − 1) n ( n +1)6
(1 + 2 + · · · + ( n − 1)) = + = .
6 2 3
n n n n
∑ ∑ ∑ ∑
2 2 2 2
We can also arrive at the solution by realizing that i = i + i + i + · · · +
i =1 i =1 i =2 i =3
( )
( )
n n 1 2 3 n − 1
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
n ( n +1) ( n − 1) n
1 · 2 2 · 3
2 2 2 2 2 2
i = n i − i + i + i + · · · i = n − + + · · · + =
2 2 2 2
i = n i =1 i =1 i =1 i =1 n =1
n ( n +1) n ( n +1)(2 n +1) ( n − 1) n ( n +1)
n − S = , so S = .1
2 2 6 3
3 2 4 3