平移后的特征值

若 $A$ 的两个特征值是 5 和 7，那么：

• $A-3I_n$ 的特征值变为 $5-3=2$ 和 $7-3=4$；
• $(A-3I_n)^{-1}$ 的特征值变为 $\frac12$ 和 $\frac14$；
• 再立方后，$B=((A-3I_n)^{-1})^3$ 的特征值就是 $$\left(\frac12\right)^3=\frac18, \qquad \left(\frac14\right)^3=\frac1{64}.$$

因此，若题意是这两个特征值各出现一次，则特征值之和为 $$\frac18+\frac1{64}=\frac{8}{64}+\frac{1}{64}=\boxed{\frac{9}{64}}.$$

---

Original Explanation

Let $B = ((A - 3I_n)^{-1})^3$.

• Eigenvalues of $A$: $5,7$.
• Eigenvalues of $A - 3I_n$: $5-3=2$, $7-3=4$.
• Eigenvalues of $(A - 3I_n)^{-1}$: $1/2$, $1/4$.
• Eigenvalues of $B = ((A-3I_n)^{-1})^3$: $(1/2)^3 = 1/8$, $(1/4)^3 = 1/64$.

Sum of eigenvalues (assuming multiplicity 1 each):

$$\frac{1}{8} + \frac{1}{64} = \frac{9}{64}.$$