随机子集

有序对子 $(A, B)$ 的总数为 $2^5 * 2^5 = 2^{10} = 1024$。

对于每个元素 $x$，若要求 $A ⊆ B$，则它在 $(A, B)$ 中的出现方式有 3 种合法选择。因此，有利的有序对子总数为 $3^5 = 243$。

进一步解释一下上面的说法。对每个元素 $x$，它要么属于某个子集，要么不属于某个子集。因此对 $A$ 和 $B$ 来说：

• $x \in A$ 或 $x \notin A$
• $x \in B$ 或 $x \notin B$

对单个元素而言，$A$ 有两种选择，$B$ 也有两种选择，因此一共是 4 种可能。可以表示为有序对：

$$(x \in A?, x\in B?) \in \{(0,0)\, (0,1), (1,0), (1,1)\}$$

记住：$A ⊆ B$ 的意思是，如果 $x$ 在 $A$ 中，那么它也必须在 $B$ 中。

• 情况 $(0, 0)$：$x$ 不在 $A$ 中，也不在 $B$ 中。允许。
• 情况 $(0, 1)$：$x$ 不在 $A$ 中，但在 $B$ 中。允许。
• 情况 $(1, 0)$：$x$ 在 $A$ 中，但不在 $B$ 中。不允许。
• 情况 $(1, 1)$：$x$ 同时在 $A$ 和 $B$ 中。允许。

因此，在 4 种等可能模式中，有 3 种满足 $A ⊆ B$。

所以，$A$ 是 $B$ 的子集的概率为 $\frac{243}{1024}$。

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英文解析

The total number of ordered pairs $(A, B)$ is $2^5 * 2^5 = 2^{10} = 1024$.

For each element $x$ there are 3 valid choices for how it can appear in $(A, B)$ if we require $A ⊆ B$. So the total number of favorable ordered pairs is $3^5 = 243$.

To expand on the previous statement, we can think of each element $x$ as either in or not in a subset. So, for subsets $A$ and $B$:

• $x \in A$ or $x \notin A$
• $x \in B$ or $x \notin B$

There's two choices for $A$ and two choices for $B$ which equals 4 total possibilities for this single element. We can represent them as ordered pairs:

$$(x \in A?, x\in B?) \in \{(0,0)\, (0,1), (1,0), (1,1)\}$$

Remember: $A ⊆ B$ means if x is in $A$, then it must also be in $B$.

• Case $(0, 0)$: x is neither in $A$ nor $B$. Allowed (no conflict)
• Case $(0, 1)$: x is not in $A$ but is in $B$. Allowed (subset rule is still satisfied)
• Case $(1, 0)$: x is in $A$ but not in $B$. Not allowed
• Case $(1, 1)$: x is in $A$ and $B$: Allowed

So, out of the 4 equally likely patterns, 3 are valid when we require $A ⊆ B$.

Thus the probability that $A$ is a subset of $B$ is $\frac{243}{1024}$.