均匀点集间距 II

Spacious Uniform Values II

在区间 $(0,1)$ 上独立均匀抽取 101 个随机点。求任意两点距离的最小值的期望。

You sample 101 uniformly random numbers in the interval $(0,1)$ . Find the expected length of the shortest distance between any two selected points.

解析

设最小两点距离为 $M$ 。

对 $n$ 个点， $M>t$ 等价于所有相邻间距都 $>t$ ，可得

P(M>t)=(1-(n-1)t)^n,\quad 0\le t\le \frac{1}{n-1}.

于是

\mathbb{E}[M]=\int_0^{1/(n-1)}(1-(n-1)t)^n\,dt=\frac{1}{(n-1)(n+1)}=\frac{1}{n^2-1}.

代入 $n=101$ 得

\boxed{\mathbb{E}[M]=\frac{1}{10200}}.