积分方差 II

Integral Variance II

专题: Finance / 金融
难度: L4
来源: QuantQuestion

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设 $W_t$ 为标准布朗运动。计算

\operatorname{Var}\left(\int_0^t W_s\,dW_s\right).

已知答案形如 $kt^2$ ，求常数 $k$ 。

Let $W_t$ be a standard Brownian Motion. Compute $Var\left(\int_0^t W_s dW_s\right)$ . The answer is in the form $kt^2$ for a constant $k$ . Find $k$ .

解析

由伊藤积分等距（Itô isometry）：

\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t W_s\,dW_s\right)^2\right]=\mathbb{E}\left[\int_0^t W_s^2\,ds\right]=\int_0^t \mathbb{E}[W_s^2]\,ds.

而 $\mathbb{E}[W_s^2]=s$ ，所以

\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t W_s\,dW_s\right)^2\right]=\int_0^t s\,ds=\frac{t^2}{2}.

又因为该积分均值为 0，故方差即上式：

\operatorname{Var}\left(\int_0^t W_s\,dW_s\right)=\frac{t^2}{2}.

因此 $k=\boxed{\frac{1}{2}}$ 。