均匀阈值

Uniform Fix

专题: Probability / 概率
难度: L2
来源: QuantQuestion

个人笔记

题目详情

设 $U\sim\mathrm{Unif}(0,1)$ ，且 $X_1,X_2,\dots\sim\mathrm{Unif}(0,1)$ 独立同分布，并与 $U$ 独立。

定义

N=\min\{n\in\mathbb{N}: X_n>U\}.

求 $\mathbb{E}[N]$ 。若期望为无穷大，请输出 -1。

英文原题

Let $U \sim \text{Unif}(0,1)$ and $X_1, X_2, \ldots \sim \text{Unif}(0,1)$ IID. Define $N = \text{min}\{n \in \mathbb{N} : X_n > U\}$ . Find $\mathbb{E}[N]$ . Enter $-1$ if the answer is infinite.

解析

条件在 $U=u$ 下， $X_n>u$ 的成功概率为 $1-u$ ，所以 $N\mid U=u$ 服从参数为 $1-u$ 的几何分布（从 1 开始），

\mathbb{E}[N\mid U=u]=\frac{1}{1-u}.

于是

\mathbb{E}[N]=\mathbb{E}\left[\frac{1}{1-U}\right]=\int_0^1\frac{1}{1-u}\,du=\infty.

因此输出 $\boxed{-1}$ 。

英文解析

Under the condition of $U=u$ , the success probability of $X_n>u$ is $1-u$ , so $N\mid U=u$ obeys the geometric distribution (starting from 1) with the parameter $1-u$ .

\mathbb{E}[N\mid U=u]=\frac{1}{1-u}.

as a result

\mathbb{E}[N]=\mathbb{E}\left[\frac{1}{1-U}\right]=\int_0^1\frac{1}{1-u}\,du=\infty.

So the output is $\boxed{-1}$ .