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专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

两家量化公司客户流入分别可视为相互独立的泊松过程，强度参数分别为 6 与 10。

客户给出“特别好评”的概率分别为 $\frac{1}{6}$ 与 $\frac{1}{5}$ ，且彼此独立。

对给出特别好评的客户，公司会寄出一张感谢卡。求两位收到感谢卡的客户之间的期望时间间隔。

Two quant firms have client inflow that is well-modeled by independent Poisson processes. The respective intensity parameters are $6$ and $10$ . Clients give outstanding reviews about the service with respective probabilities $\dfrac{1}{6}$ and $\dfrac{1}{5}$ for the two firms, independent of one another. The clients that give outstanding reviews are sent a thank you card. Find the expected time between clients that receive thank you cards.

解析

泊松过程稀疏化（thinning）：

公司 1 感谢卡到达率： $6\cdot\frac{1}{6}=1$ 。
公司 2 感谢卡到达率： $10\cdot\frac{1}{5}=2$ 。

两家独立，因此感谢卡的合并到达仍为泊松过程，强度为 $1+2=3$ 。

泊松过程相邻到达间隔服从指数分布 $\mathrm{Exp}(3)$ ，期望为 $1/3$ 。

所以答案为 $\boxed{\frac{1}{3}}$ （时间单位与原泊松过程一致）。