配袜子 II

Matching Socks II

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

抽屉里有 6 双互不相同的袜子（共 12 只）。你随机均匀地从中抽出 8 只袜子。

问：抽完后留在抽屉里的袜子中，“完整成对”的袜子对数的期望是多少？

6 distinct pairs of socks are in a drawer. You're in a hurry to pack for a trip, so you draw out 8 socks uniformly at random from the drawer. Find the expected number of pairs of socks that remain in the drawer.

解析

对每一双袜子 $i$ ，令指示变量 $I_i$ 表示“这一双两只都留在抽屉里”。则期望对数为 $\mathbb{E}[\sum_{i=1}^6 I_i]=\sum\mathbb{E}[I_i]$ 。

抽走 8 只等价于“留下 4 只”。对某一固定袜子对，要两只都留下，等价于 4 只留下的集合包含这 2 只。其概率为

\frac{\binom{10}{2}}{\binom{12}{4}}=\frac{\binom{10}{8}}{\binom{12}{8}}=\frac{1}{11}.

因此期望为

6\cdot\frac{1}{11}=\boxed{\frac{6}{11}}.