先手值多少钱

First Right

专题: Probability / 概率
难度: L2
来源: QuantQuestion

题目详情

你和朋友玩游戏：你先抛一枚公平硬币。

若你抛出正面（H），朋友付给你 30 美元，游戏结束。
若你抛出反面（T），硬币交给朋友由他来抛。
若朋友抛出正面，你付给他 30 美元，游戏结束。
若朋友抛出反面，硬币再交回给你。

如此往复，直到第一次出现正面为止。

问：你愿意为“先手权”最多支付多少钱（美元）？

You and a friend are playing a game. You start with a coin, if you flip heads your friend gives you $30, but if you flip tails your friends gets the coin. Then he flips, if he gets heads you give him $30 and if he gets tails you get the coin, and the process repeats. What is the maximum amount (in dollars) you would pay for the right to go first?

解析

设 $V$ 为轮到你抛时，从你视角的期望收益。

你抛：以 $1/2$ 概率立刻赢 30；以 $1/2$ 概率进入朋友回合。

设 $W$ 为轮到朋友抛时（从你视角）的期望收益，则

V=\frac12\cdot 30+\frac12 W, \quad W=\frac12\cdot(-30)+\frac12 V.

解得 $W=-15+\frac12V$ ，代入得

V=15+\frac12\left(-15+\frac12V\right)=7.5+\frac14V \Rightarrow\frac34V=7.5\Rightarrow V=10.

因此你最多应支付 $\boxed{10}$ 美元来获得先手权。