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平面分割：10 条直线最多分成多少区域

Plane Partition

专题
Discrete Math / 离散数学
难度
L4

题目详情

用 10 条两两不平行的直线来分割平面。问：最多能把平面分成多少个互不相交的区域？（例如 1 条直线能分成 2 个区域。）

Determine the maximum number of disjoint regions into which the plane can be divided by 1010 non-parallel lines. For instance, a single line divides the plane into 22 regions.

解析

要使区域数最大，除“两两不平行”外还应让任意三条直线不共点（一般位置）。

此时第 nn 条直线会与前 n−1n-1 条直线产生 n−1n-1 个交点，把自己分成 nn 段，从而新增 nn 个区域。

递推：R0=1R_0=1，Rn=Rn−1+nR_n=R_{n-1}+n，因此

Rn=1+∑k=1nk=1+n(n+1)2.R_n=1+\sum_{k=1}^n k=1+\frac{n(n+1)}{2}.

代入 n=10n=10 得

1+10⋅112=56.1+\frac{10\cdot 11}{2}=56.