涂色立方体：看不见涂色面时是中心块的概率

Probability it is the center cube

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

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把一个 3×3×3 的大立方体外表面全部涂漆，然后切成 27 个小立方体，随机取出其中一个并让它落到桌面上。

你能看到它的 5 个面（底面看不到），且你观察到这 5 个可见面都没有被涂漆。

问：该小立方体是“真正的内部中心块（0 个涂漆面）”的概率是多少？（它也可能是“面中心块（1 个涂漆面）”但刚好涂漆面朝下。）

3×3 block painted, cut to 27 cubes, one dropped. No visible face is painted => probability it is the center cube. We see no painted face among the 5 visible sides (the downward side is hidden). Probability that the chosen small cube is the actual internal center vs a face-center with 1 painted side hidden?

解析

27 个小立方体类型计数：

内部中心块：1 个（0 个涂漆面）。
面中心块：6 个（1 个涂漆面）。
棱块：12 个（2 个涂漆面）。
角块：8 个（3 个涂漆面）。

在“可见 5 个面都没漆”的条件下：

内部中心块一定满足（概率 1）。
面中心块要满足，唯一的涂漆面必须恰好是底面。若朝下的面等可能为 6 个面之一，则概率为 $1/6$ 。
棱块/角块至少有 2 个涂漆面，不可能让 5 个可见面都无漆。

因此后验权重：

中心块： $1\times 1=1$ 。
面中心块： $6\times (1/6)=1$ 。

归一化后

P(\text{中心块}\mid\text{可见 5 面无漆})=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Original Explanation

Among 27 cubes:
1 center (0 painted faces),
6 face-center cubes (1 painted face),
12 edge cubes (2 faces painted),
8 corner cubes (3 faces).
If no face is visible as painted, it could be the internal one, or it could be one of the 6 face-centered cubes placed with its single painted face on the bottom. A more detailed ratio approach gives about $\tfrac{1}{7}$ or $\tfrac{1}{9}$ depending on the interpretation. Usually the final is $\tfrac{1}{7}$ .