掷骰决定抽样量

Expectation Computation of Selecting Green Balls

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

个人笔记

题目详情

令 $X$ 表示掷一枚公平六面骰直到首次出现 6 的掷骰次数。给定 $X=x$ 后，从一个装有 5 个红球、4 个绿球的罐子中“有放回”抽取 $x$ 次。

令 $Y$ 为样本中绿球的个数。求 $E(Y)$ 。

英文原题

Let $X$ represent the number of rolls of a fair die until a six appears for the first time. Given $X = x$ , a sample of size $x$ is chosen with replacement from an urn containing 5 red balls and 4 green balls. Let $Y$ be the number of green balls in the sample. Determine $E(Y)$ .

解析

给定 $X=x$ ，每次抽到绿球概率为 $4/9$ ，且独立，因此

Y\mid X=x\sim\mathrm{Bin}(x,4/9),\quad \mathbb{E}[Y\mid X=x]=x\cdot\frac{4}{9}.

对 $X$ 再取期望： $X$ 是参数 $p=1/6$ 的几何分布（取值从 1 开始），因此 $\mathbb{E}[X]=1/p=6$ 。

所以

\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid X]]=\frac{4}{9}\mathbb{E}[X]=\frac{4}{9}\cdot 6=\frac{8}{3}.

英文解析

Given $X=x$ , the probability of getting a green ball each time is $4/9$ , and it is independent, so

Y\mid X=x\sim\mathrm{Bin}(x,4/9),\quad \mathbb{E}[Y\mid X=x]=x\cdot\frac{4}{9}.

Again, expect $X$ : $X$ is the geometric distribution of the parameter $p=1/6$ (starting at 1), so $\mathbb{E}[X]=1/p=6$ .

\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid X]]=\frac{4}{9}\mathbb{E}[X]=\frac{4}{9}\cdot 6=\frac{8}{3}.