准时乘客

The Punctual Passenger

专题: General / 综合
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

每天火车会在上午 10:00 到 11:00 之间的某个随机时刻到站（均匀随机），并停留恰好 5 分钟后离开。乘客也会在上午 10:00 到 11:00 之间的某个随机时刻到站（均匀随机），并同样只停留恰好 5 分钟。

问：乘客能赶上火车的天数比例（概率）是多少？

Every day, a train stops at the station at a random moment between 10 AM and 11 AM and stays for exactly 5 minutes before leaving. A passenger arrives at a random moment between 10 AM and 11 AM and stays for exactly 5 minutes too, hoping to catch the train. What fraction of days does the passenger successfully catch the train?

解析

设火车到站时刻 $T$ 、乘客到站时刻 $P$ （单位：分钟，均匀分布在 $[0,60]$ ）。两人相遇当且仅当区间 $[T,T+5]$ 与 $[P,P+5]$ 有交集，即 $|T-P|\le 5$ 。

在 $60\times 60$ 正方形中，可行区域是对角线附近宽 10 的带状区域，面积为

60^2-2\cdot\frac{55^2}{2}=3600-3025=575.

因此概率为

\frac{575}{3600}=\frac{23}{144}.