用 Feynman–Kac 解 PDE

PDE：

$$2u_{xx}+xu_x+u_t+x=0,\quad 0\le t<T,\quad u(T,x)=x^2.$$

令 $\nu(t,x)=u(t,x)+x$，则

$$2\nu_{xx}+x\nu_x+\nu_t=0,\quad \nu(T,x)=x^2+x.$$

对应扩散 $dX_s=X_s ds+2dW_s$，有

$$\nu(t,x)=\mathbb{E}[X_T^2+X_T\mid X_t=x].$$

解线性 SDE：$X_T=e^{\Delta}x+2\int_t^T e^{T-s}dW_s$，$\Delta=T-t$。

因此 $\mathbb{E}[X_T]=e^{\Delta}x$，$\operatorname{Var}(X_T)=2(e^{2\Delta}-1)$，从而

$$\mathbb{E}[X_T^2]=e^{2\Delta}x^2+2(e^{2\Delta}-1).$$

得到

$$\nu(t,x)=e^{2\Delta}x^2+e^{\Delta}x+2(e^{2\Delta}-1).$$

最后 $u=\nu-x$：

$$\boxed{u(t,x)=e^{2(T-t)}x^2+(e^{(T-t)}-1)x+2(e^{2(T-t)}-1)}.$$