布朗运动相关系数

令 $I_t=\int_0^t W_s ds$。

协方差：

$$\operatorname{Cov}(W_t,I_t)=\int_0^t \mathbb{E}[W_tW_s]ds=\int_0^t s\,ds=\frac{t^2}{2}.$$

方差：$\operatorname{Var}(W_t)=t$，且

$$\operatorname{Var}(I_t)=\int_0^t\int_0^t \min(s,u)\,ds\,du=\frac{t^3}{3}.$$

因此相关系数

$$\boxed{\operatorname{Corr}(W_t,I_t)=\frac{t^2/2}{\sqrt{t\cdot t^3/3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}.$$

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英文解析

$$\operatorname{Cov}(W_t,I_t)=\int_0^t \mathbb{E}[W_tW_s]ds=\int_0^t s\,ds=\frac{t^2}{2}.$$ $$\operatorname{Var}(I_t)=\int_0^t\int_0^t \min(s,u)\,ds\,du=\frac{t^3}{3}.$$ $$\boxed{\operatorname{Corr}(W_t,I_t)=\frac{t^2/2}{\sqrt{t\cdot t^3/3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}.$$