在风险中性下
ln S ( t ) = ln S 0 + ( r − 1 2 σ 2 ) t + σ B t . \ln S(t)=\ln S_0+\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)t+\sigma B_t. ln S ( t ) = ln S 0 + ( r − 2 1 σ 2 ) t + σ B t . 事件 S ( 5 ) < S ( 3 ) S(5)<S(3) S ( 5 ) < S ( 3 )
B 5 − B 3 < − 2 ( r − 1 2 σ 2 ) σ , B_5-B_3< -\frac{2\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)}{\sigma}, B 5 − B 3 < − σ 2 ( r − 2 1 σ 2 ) , 事件 S ( 3 ) > S ( 2 ) S(3)>S(2) S ( 3 ) > S ( 2 )
B 3 − B 2 > − ( r − 1 2 σ 2 ) σ . B_3-B_2> -\frac{\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)}{\sigma}. B 3 − B 2 > − σ ( r − 2 1 σ 2 ) . 两增量独立，且 B 5 − B 3 = 2 X B_5-B_3=\sqrt{2}X B 5 − B 3 = 2 X B 3 − B 2 = Y B_3-B_2=Y B 3 − B 2 = Y X , Y ∼ N ( 0 , 1 ) X,Y\sim N(0,1) X , Y ∼ N ( 0 , 1 )
因此价格
Π 0 = e − 5 r Φ ( − ( r − 1 2 σ 2 ) 2 σ ) Φ ( ( r − 1 2 σ 2 ) σ ) . \boxed{\Pi_0=e^{-5r}\,\Phi\left(-\frac{\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)\sqrt{2}}{\sigma}\right)
\,\Phi\left(\frac{\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)}{\sigma}\right)}. Π 0 = e − 5 r Φ ( − σ ( r − 2 1 σ 2 ) 2 ) Φ ( σ ( r − 2 1 σ 2 ) ) . 英文解析
ln S ( t ) = ln S 0 + ( r − 1 2 σ 2 ) t + σ B t . \ln S(t)=\ln S_0+\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)t+\sigma B_t. ln S ( t ) = ln S 0 + ( r − 2 1 σ 2 ) t + σ B t . B 5 − B 3 < − 2 ( r − 1 2 σ 2 ) σ , B_5-B_3< -\frac{2\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)}{\sigma}, B 5 − B 3 < − σ 2 ( r − 2 1 σ 2 ) , B 3 − B 2 > − ( r − 1 2 σ 2 ) σ . B_3-B_2> -\frac{\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)}{\sigma}. B 3 − B 2 > − σ ( r − 2 1 σ 2 ) . Π 0 = e − 5 r Φ ( − ( r − 1 2 σ 2 ) 2 σ ) Φ ( ( r − 1 2 σ 2 ) σ ) . \boxed{\Pi_0=e^{-5r}\,\Phi\left(-\frac{\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)\sqrt{2}}{\sigma}\right)
\,\Phi\left(\frac{\left(r-\tfrac12\sigma^2\right)}{\sigma}\right)}. Π 0 = e − 5 r Φ ( − σ ( r − 2 1 σ 2 ) 2 ) Φ ( σ ( r − 2 1 σ 2 ) ) .