数字期权的解析推导思路

在 Black–Scholes 下，欧式 call 可拆成两部分：

$$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2).$$

其中两项分别对应两类数字期权：

• asset-or-nothing call（到期支付 $S_T\mathbf{1}_{S_T>K}$）的现值

$$\boxed{V_{\text{AoN}}=S_0N(d_1)}$$

• cash-or-nothing call（到期支付 $1\cdot\mathbf{1}_{S_T>K}$）的现值

$$\boxed{V_{\text{CoN}}=e^{-rT}N(d_2)}$$

从而

$$\boxed{C=V_{\text{AoN}}-K\,V_{\text{CoN}}}.$$

也可用复制关系：数字 call 是 call spread 的极限，因此

$$\boxed{V_{\text{CoN}}=-\frac{\partial C}{\partial K}}.$$

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英文解析

$$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2).$$ $$\boxed{V_{\text{AoN}}=S_0N(d_1)}$$ $$\boxed{V_{\text{CoN}}=e^{-rT}N(d_2)}$$ $$\boxed{C=V_{\text{AoN}}-K\,V_{\text{CoN}}}.$$ $$\boxed{V_{\text{CoN}}=-\frac{\partial C}{\partial K}}.$$