泊松过程：条件期望 Poisson process with parameter 专题 Probability / 概率 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 If NtN_tNt is a Poisson process with parameter λ\lambdaλ , what is E(Nt2∣Nt1=k)\mathbb{E}\left(N_{t_2} \mid N_{t_1} = k\right)E(Nt2∣Nt1=k) where t2>t1t_2 > t_1t2>t1 ? 解析 泊松过程具有独立平稳增量： Nt2=Nt1+(Nt2−Nt1),Nt2−Nt1∼Poisson(λ(t2−t1)).N_{t_2}=N_{t_1}+(N_{t_2}-N_{t_1}),\quad N_{t_2}-N_{t_1}\sim\mathrm{Poisson}(\lambda(t_2-t_1)).Nt2=Nt1+(Nt2−Nt1),Nt2−Nt1∼Poisson(λ(t2−t1)). 因此 E[Nt2∣Nt1=k]=k+λ(t2−t1).\mathbb{E}[N_{t_2}\mid N_{t_1}=k]=k+\lambda(t_2-t_1).E[Nt2∣Nt1=k]=k+λ(t2−t1). 即 E[Nt2∣Nt1=k]=k+λ(t2−t1).\boxed{\mathbb{E}[N_{t_2}\mid N_{t_1}=k]=k+\lambda(t_2-t_1)}.E[Nt2∣Nt1=k]=k+λ(t2−t1).