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泊松过程：条件期望

Poisson process with parameter

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

概率题：泊松过程：条件期望。

英文原题

If NtN_t is a Poisson process with parameter λ\lambda , what is

E(Nt2∣Nt1=k)\mathbb{E}\left(N_{t_2} \mid N_{t_1} = k\right)

where t2>t1t_2 > t_1 ?

解析

泊松过程具有独立平稳增量：

Nt2=Nt1+(Nt2−Nt1),Nt2−Nt1∼Poisson(λ(t2−t1)).N_{t_2}=N_{t_1}+(N_{t_2}-N_{t_1}),\quad N_{t_2}-N_{t_1}\sim\mathrm{Poisson}(\lambda(t_2-t_1)).

因此

E[Nt2∣Nt1=k]=k+λ(t2−t1).\mathbb{E}[N_{t_2}\mid N_{t_1}=k]=k+\lambda(t_2-t_1).

即

E[Nt2∣Nt1=k]=k+λ(t2−t1).\boxed{\mathbb{E}[N_{t_2}\mid N_{t_1}=k]=k+\lambda(t_2-t_1)}.

英文解析

Nt2=Nt1+(Nt2−Nt1),Nt2−Nt1∼Poisson(λ(t2−t1)).N_{t_2}=N_{t_1}+(N_{t_2}-N_{t_1}),\quad N_{t_2}-N_{t_1}\sim\mathrm{Poisson}(\lambda(t_2-t_1)). E[Nt2∣Nt1=k]=k+λ(t2−t1).\mathbb{E}[N_{t_2}\mid N_{t_1}=k]=k+\lambda(t_2-t_1). E[Nt2∣Nt1=k]=k+λ(t2−t1).\boxed{\mathbb{E}[N_{t_2}\mid N_{t_1}=k]=k+\lambda(t_2-t_1)}.