Itô 引理

核心原因是布朗增量的尺度：$\Delta W=O(\sqrt{\Delta t})$。

对足够光滑的 $f(t,X_t)$ 做二阶泰勒展开：

$$\Delta f\approx f_t\,\Delta t+f_x\,\Delta X+\tfrac12 f_{xx}(\Delta X)^2.$$

当 $X_t$ 含有布朗项时，$(\Delta X)^2$ 的主导贡献来自 $(\Delta W)^2\approx \Delta t$，因此二阶项在极限中不会消失，从而得到 Itô 公式

$$df=f_t\,dt+f_x\,dX+\tfrac12 f_{xx}\,d\langle X\rangle_t.$$

这就是与普通链式法则相比多出 $\tfrac12 f_{xx}$ 项的本质来源。

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英文解析

$$\Delta f\approx f_t\,\Delta t+f_x\,\Delta X+\tfrac12 f_{xx}(\Delta X)^2.$$ $$df=f_t\,dt+f_x\,dX+\tfrac12 f_{xx}\,d\langle X\rangle_t.$$