七战四胜：第一场该下注多少

New York Yankees

专题: Finance / 金融
难度: L4
来源: QuantQuestion

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The New York Yankees and the San Francisco Giants are playing in the World Series (best of seven format). You would like to bet $ $100$ on the Yankees winning the World Series, but you can only place bets on individual games, and every time at even odds. How much should you bet on the first game?

解析

把“洋基最终夺冠给你 100 美元，否则 0”的合约看作状态依赖的现金流，设 $p(w,l)$ 为在当前胜负为 $(w,l)$ 时最终夺冠概率（每场 50/50）。则公允价值为 $100\,p(w,l)$ 。

初始 $p(0,0)=1/2$ ，若第一场赢则到 $(1,0)$ ，输则到 $(0,1)$ 。递推可得

p(1,0)=0.65625,\qquad p(0,1)=0.34375.

若第一场下注 $x$ （赔率 1:1），则第一场后财富分别变为 $50\pm x$ 。为复制合约，应满足

50+x=100p(1,0),\qquad 50-x=100p(0,1).

解得

\boxed{x=50\bigl(p(1,0)-p(0,1)\bigr)=15.625}.