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随机游走停时

Random walk starting at 1

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

概率题：随机游走停在 0 或 3：期望步数与到 3 的概率。

英文原题

Consider a random walk starting at 1 and with equal probability of moving to the left or to the right by one unit, and stopping either at 0 or at 3.

(i) What is the expected number of steps to do so?

(ii) What is the probability of the random walk ending at 3 rather than at 0?

解析

设从位置 ℓ∈{0,1,2,3}\ell\in\{0,1,2,3\} 出发，到首次到达 {0,3}\{0,3\} 的步数为 TℓT_\ell，其期望为 tℓ=E[Tℓ]t_\ell=\mathbb{E}[T_\ell]。

对 ℓ=1,2\ell=1,2 有递推

tℓ=1+tℓ−1+tℓ+12,qquadt0=t3=0.t_\ell=1+\frac{t_{\ell-1}+t_{\ell+1}}{2},\\qquad t_0=t_3=0.

解得 t1=t2=2t_1=t_2=2，因此

E[步数]=2.\boxed{\mathbb{E}[\text{步数}]=2}.

到达 3 的概率 pℓp_\ell 满足

pℓ=pℓ−1+pℓ+12,qquadp0=0,p3=1.p_\ell=\frac{p_{\ell-1}+p_{\ell+1}}{2},\\qquad p_0=0,p_3=1.

解得 p1=1/3,p2=2/3p_1=1/3,p_2=2/3，故

P(终止于 3)=13.\boxed{\mathbb{P}(\text{终止于 }3)=\frac13}.

英文解析

tℓ=1+tℓ−1+tℓ+12,qquadt0=t3=0.t_\ell=1+\frac{t_{\ell-1}+t_{\ell+1}}{2},\\qquad t_0=t_3=0. pℓ=pℓ−1+pℓ+12,qquadp0=0,p3=1.p_\ell=\frac{p_{\ell-1}+p_{\ell+1}}{2},\\qquad p_0=0,p_3=1.