鞅但非马尔可夫；马尔可夫但非鞅

马尔可夫但非鞅：设抛一枚偏硬币（正面概率 $1/3$），令 $X_n$ 为前 $n$ 次中“反面”的个数。$X_n$ 是马尔可夫链，但

$$\mathbb{E}[X_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]=X_n+\frac{2}{3}\ne X_n,$$

所以不是鞅。

鞅但非马尔可夫：取独立 Rademacher 变量 $\xi_n\in\{\pm 1\}$ 等概率。定义

$$M_1=\xi_1,\quad M_2=\xi_1+\xi_2,\quad M_{n+1}=M_n+\xi_{n-1}\xi_{n+1}\ (n\ge 2).$$

令 $\mathcal{F}_n=\sigma(\xi_1,\ldots,\xi_n)$，则

$$\mathbb{E}[M_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]=M_n+\xi_{n-1}\,\mathbb{E}[\xi_{n+1}\mid\mathcal{F}_n]=M_n.$$

因此 $M_n$ 是鞅。但 $M_{n+1}$ 的分布依赖于 $\xi_{n-1}$，而 $\xi_{n-1}$ 无法仅由 $M_n$ 决定，所以它不是马尔可夫过程。