随机两点断条：最短/中间/最长段的期望

The Broken Bar

A bar is broken at random in two places. Find the average size of the smallest, of the middle- sized, and of the largest pieces.

Interval with break points $x$ and $y$ .

解析

把单位区间在两处均匀随机断开，得到三段长度 $(L_1,L_2,L_3)$ 。

三段在无序意义下服从 Dirichlet $(1,1,1)$ 的间隔分布，其有序统计的期望为经典结果：

\mathbb{E}[\min]=\boxed{\frac19},\qquad \mathbb{E}[\text{中间}]=\boxed{\frac{5}{18}},\qquad \mathbb{E}[\max]=\boxed{\frac{11}{18}}.

三者相加为 1。