高斯乘积

一般不成立，即使独立也不成立。

设 $X,Y\sim N(0,1)$ 独立，则 $XY$ 的矩母函数为

$$M_{XY}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}},$$

与正态分布的矩母函数 $\exp(\tfrac12\sigma^2 t^2)$ 不同，因此 $XY$ 不是正态。

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英文解析

$$M_{XY}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}},$$