高斯乘积是否仍为高斯

高斯分布的乘积

Is the product of two Gaussian random variables also a Gaussian? Is the answer any different if they are independent?

解析

一般不成立，即使独立也不成立。

设 $X,Y\sim N(0,1)$ 独立，则 $XY$ 的矩母函数为

M_{XY}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}},

与正态分布的矩母函数 $\exp(\tfrac12\sigma^2 t^2)$ 不同，因此 $XY$ 不是正态。