判定正态分布： $Y=XZ$ 与 $Y+Z$

判定正态分布

专题: General / 综合
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

Let $X$ and $Z$ be independent random variables with $X$ a discrete random variable given by $P(X = 1) = P(X = - 1) = 1 / 2$ and $Z$ a standard normal random variable. Let $Y = XZ$ . Is $Y$ a standard normal variable? Is $Y + Z$ normal? Does $(Y,Z)$ have joint normal density?

解析

令 $X=\pm1$ 等概率， $Z\sim N(0,1)$ 且独立， $Y=XZ$ 。

$Y$ 与 $Z$ 同分布： $\mathbb{P}(Y\le t)=\tfrac12\mathbb{P}(Z\le t)+\tfrac12\mathbb{P}(-Z\le t)=\mathbb{P}(Z\le t).$ 所以 $Y\sim N(0,1)$ 。
$Y+Z$ 不正态，因为 $\mathbb{P}(Y+Z=0)=\mathbb{P}(X=-1)=\tfrac12$ ，有原子质量。
因为联合正态下任意线性组合仍正态，而 $Y+Z$ 非正态，所以 $(Y,Z)$ 不是联合正态。