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Poisson(20)：卖出偶数个的概率

Evening the Sales

专题
Probability / 概率
难度
L4

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A bread salesman sells on the average 20 cakes on a round of his route. What is the chance that he sells an even number of cakes? (We assume the sales follow the Poisson distribution.) Birthday Problems (31, 32, 33, 34)

解析

设 X∼Poisson(m)X\sim\mathrm{Poisson}(m)。

用母函数/级数：

E[(−1)X]=∑k≥0(−1)ke−mmkk!=e−me−m=e−2m.\mathbb{E}[(-1)^X]=\sum_{k\ge 0}(-1)^k e^{-m}\frac{m^k}{k!}=e^{-m}e^{-m}=e^{-2m}.

另一方面

E[(−1)X]=P(X偶)−P(X奇).\mathbb{E}[(-1)^X]=\mathbb{P}(X\text{偶})-\mathbb{P}(X\text{奇}).

又 P(X偶)+P(X奇)=1\mathbb{P}(X\text{偶})+\mathbb{P}(X\text{奇})=1，联立得

P(X偶)=1+e−2m2.\boxed{\mathbb{P}(X\text{偶})=\frac{1+e^{-2m}}{2}}.

取 m=20m=20：

P(X偶)=1+e−402≈0.5.\mathbb{P}(X\text{偶})=\frac{1+e^{-40}}{2}\approx 0.5.